Интерактивная геометрия на урок. Вред или польза

ИНТЕРАКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА УРОКЕ: ПОЛЬЗА ИЛИ ВРЕД?

Мы с учениками привыкли на уроках к интерактивной геометрической системе Geogebra. Используем её и на алгебре, и на геометрии и для решения задач, и для объяснения нового материала, и даже домашние задания иногда в ней задаю.
Очень удобно! Geogebra быстро и аккуратно делает прекрасные, наглядные чертежи. Их можно показывать и целиком, и по частям, в соответствии с этапами решения той или иной задачи. Важно, что геогебравские апплеты динамичны, и они легко кореллируются по ходу дела. Есть возможности анимации, причем в меру, без лишнего гламура. Программа сделана очень остроумно и гибко: множество режимов, цвета, прозрачный интерфейс. Немаловажно также и то, что этот весьма известный в мировой учебной практике софт совершенно бесплатен – его беспрепятственно можно скачать в Интернете. Короче говоря, представляется, что Geogebra прекрасный компьютерный инструмент для преподавания. Я даже начал разрабатывать собственный курс по школьной математике для старшеклассников, смысл которого, говоря упрощенно, сводился к тому, чтобы вообще «погрузить» всё, что только можно в динамическую виртуальную среду.
Зачем? Прежде всего, очевидно, что год от года дети математику знают все хуже и хуже. При этом, и самое неприятное для учителя – им не интересно, пустые, скучающие глаза. Особенно в старших классах.
Многие коллеги объясняют это тем, что, начиная с седьмого класса, дети «тупеют», и в результате, к окончанию школы многие становятся беспомощными в этой важной области познания. Связывается это иногда с возрастными физиологическими особенностями. Говорят, и, кажется, я где-то читал, что в американских школах, к детям, с 12-летнего возраста, вообще не пристают с математикой – разгорающийся огонь в крови якобы начисто сжигает интеллект примерно до 9-10 класса. Наверное, это отчасти справедливо. Я, к примеру, с шестого до половины девятого класса учился отвратительно, и неожиданный для всех прорыв в математике действительно прямо связан с дружбой с девушкой, старшей меня и значительно лучше успевающей.
Однако, с другой стороны, невозможно не признать, что, в старших классах, математика почти лишена яркого образного контекста. Если в 5-6 детскую мысль еще как-то можно вдохновить воображаемыми мирами арифметики, населенными справедливыми разбойниками, делящими добычу, хитроумными чертями, удваивающими деньги в кармане бездельника, любезными гусями, прекрасно разбирающимися в дробях, фазанами и кроликами, с перепутанными ногами и головами, то появляющиеся в седьмом классе без опорные для детского сознания конструкции, вроде координатной плоскости с линейными уравнениями-функциями, превращает когда-то любимый для многих предмет в унылую повинность, все более усугубляющуюся по мере приближения к двум «страшным чудовищам» в виде ГИА и ЕГЭ.
Рене Декарт призывал когда-то изгнать из математики «всякое участие воображения, и прежде всего чертежи», так как при этом «самый посредственный ум достигает такого же успеха, как и самый блестящий». Другими словами, «золотой век» наступит, как только удастся свести рассуждения к формальным выкладкам. Если эта, по меньшей мере, спорная мысль (я никогда не встречал математика, который, объясняя, не пытался бы что-то нарисовать), и была учтена в наших обучающих концепциях, то можно констатировать результат: дети затрудняются делать геометрические модели задач - схемы, чертежи, графики и т.п. Часто получается, что пожелание учителя сконструировать такую модель-образ, т.е инструмент, необходимый для любой интеллектуальной работы, воспринимается детьми как неизвестно зачем нужный «довесок» для уже как-то худо-бедно замаячившей «троечки».
Итак, использование интерактивной геометрии в школе, по меньшей мере, целесообразно.
Однако, в этом направлении возникают интересные проблемы, связанные с основным инструментом математики – формально-логическим доказательством. Попробую показать это на примере конкретного урока..
Итак, геометрия в 8 классе. Тема – «Вписанный угол». Мое отношение к ней трепетное, так как умение решать задачи, связанные с окружностью, мне всегда представлялось почти искусством. Когда-то, когда я ещё сам учился в школе, факт, что любой вписанный угол, опирающийся на диаметр - всегда прямой, произвёл на меня очень сильное впечатление. Кажется, что именно он стал опорной точкой в моём собственном отношении к геометрии. И потом, впоследствии, теорема о вписанном угле и её неожиданные следствия (например, о равенстве произведений отрезков хорд) была для меня палочкой-выручалочкой в решении многих трудных задачек, казалось бы, совсем не связанных с окружностью (например, доказательством параллельности или перпендикулярности прямых).
Я подготовился к уроку основательно. Были заготовлены несколько красивых апплет, в том числе с хорошей анимацией, всё необходимое было подготовлено на доске во время перемены, очень хотелось порадовать детей глубокой задачей А.А.Заславского (1-ая геометрическая олимпиада им. И.Ф.Шарыгина).
Однако, к моему удивлению, затруднения у детей (и у меня самого) возникли (при помощи Geogebra) задолго до самой теоремы при рассмотрении такого, казалось бы, очевидного понятия, как «центральный угол».
У меня самого никогда вопросов к центральному углу не было. Угол, вершина которого находится в центре окружности. О чем, казалось, можно тут размышлять? Я уже собирался переходить к основной теореме, как вдруг, Даша (самая успевающая девушка), сообщила мне, что не понимает ничего.
- То есть как? - удивился я.
- Ну, Сергей Иванович, сами подумайте. Угол с вершиной в центре окружности даёт две дуги. Так?
- Так!
- Вы говорите, что дугу меньшую полуокружности мы измеряем, например, транспортиром, а величину большей дуги получаем, вычитая из 360, дугу меньшую. Так?
-Так!
- Ну и как узнать, где дуга большая, а где маленькая? Вот глядите,- и Даша бойко завертела колесико «мышки»,- сделаем большую-большую окружность, и возьмём большие-пребольшие дуги, они почти одинаковы, но не совсем. Ну и как будем определять, какая из них больше? И ещё, вы говорите об измерении дуг в градусах, правильно?
-Да.
- Но как же это можно? Когда мы отрезки измеряем, то знаем, что равные отрезки имеют равные длины. А если вы нам скажите отмерить дугу в 47 градусов, то дуги мы все нарисуем разные. Вот такие, например.
Даша быстренько нарисовала на мониторе несколько концентрических окружностей.
- Видите, разные круги – разные дуги.
И началась вредная дискуссия неожиданная и неуместная.
- Дашка,- сердобольно возмутилась Лера,- ну чего ты пристала, Сергей Иванович говорит, значит так и надо. Всегда же видно, какая дуга большая, а какая маленькая.
- Совсем не факт!- заявил Олег,- это прикольно, надо разобраться.
Скромный Никита с первой парты разложил листик примерно А6 формата и принялся рисовать огромную окружность. Выяснилось, что он пытается изобразить острый центральный угол, опирающийся на полуокружность.
- Прекрати заниматься ерундой!- возмутился я
- Почему ерунда,- разгильдяй Денис, недолго думая, нарисовал прямую,- тоже ведь почти окружность, а где тут центральный угол или дуги ваши?
Повисла нехорошая пауза.
- Сергей Иванович, не парьтесь,- впервые подал голос продвинутый Миша (родители – мехматяне),- давайте введем какую-нибудь ориентацию, хотя бы каноническую – по часовой стрелке, скажем.
- Благодарю вас за активность и объявляю по результатам обсуждения тайм-аут,- сообщил я при общем оживлении,- мне надо обдумать ваши интересные предложения. А сейчас давайте займемся вашими домашними работами.
Народ поскучнел, и урок вошёл в обычную колею.
При домашнем анализе урока я решился отступить от учебника и частично принять предложения детей.
- Хорошо,- сообщил я на следующем уроке,- возьмём две точки на окружности и соединим их с центром окружности. Вот так. Получим два центральных угла. С этим, надеюсь, никто не спорит? Отлично! Теперь, возьмём любой радиус и измерим против часовой стрелки (Миша, спасибо) угол между ним и другим радиусом. Вот так. Это и будет величиной первого центрального угла. На нашем рисунке он, как видите, равен 112°15΄. Второй центральный угол мы получим вычитая из 360° величину первого, т.е. 112°15΄. Получаем, сколько? Верно - 247°45΄. Вопросы есть?
Интеллектуалы промолчали, но заворчала галёрка:
- Вечно ты, Дашка, прикалываешься. Ежу же понятно, есть маленький уголок, есть большой. Большой получим как 360 минус маленький. Какие проблемы?
- А измерения дуг?- Даша не сдаётся
- Где то я с тобой согласен. Мера, ты меня убедила, понятие тонкое. Но центральные углы необходимо связать с дугами. Это важно, и вы сейчас убедитесь в этом. Давайте договоримся так. Назовём величину центрального угла не мерой, а угловой величиной соответствующей дуги.
Сошлись и на этом. Дальше все пошло быстрее. Покрутив точки по окружности, все убедились (и кажется, даже удивились), что вписанный угол всегда равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.
Мощь Geogebra особенно проявилась в ходе уяснения следствий. Дело в том, что вписанный угол есть частный случай в отношении угла и окружности: соответствующие углы могут быть образованы и секущими, и касательными, и касательной и секущей и, наконец, хордами. При этом теорема о вписанном угле всё равно основная - из неё легко выводятся величины всех остальных углов. Но если все это рассказывать (что, кажется, никогда не делается) традиционно (т.е. с помощью доски и тряпки), понадобится не менее двух уроков. И успех сомнителен - сложно качественно сделать на доске мелом большое количество чертежей, да ещё динамически меняющихся. С Geogebra же в 15 минут уложились. Несколько контрольных задачек показали, что, кажется, действительно поняли все и всё.
- Ну, прекрасно!- удовлетворенно сообщил я,- а теперь надо всё это аккуратно доказать.
- А может и не надо,- поморщился добросовестный спортсмен Вадим,- у нас на следующем уроке контрольная, и мы всё поняли.
- Я, конечно, сочувствую, но к контрольной по физике следует готовиться дома, а не на уроке геометрии. И потом у нас масса времени, мы всё успеем.
- Я всё-таки не понимаю, Сергей Иванович,- это Тёма голос подал - что вы хотите еще нам доказать, вы уже все доказали. Мы нарисовали на Geogebra, наверное, десятка три всяких углов, всё сходится, все поняли, кто хотел, чего же боле?
- Это совсем не доказательство, есть вещи, которые невозможно изобразить даже на Geogebra.
- Например?
- Например, задачка 669
В этой известной задаче требовалось доказать, что квадрат отрезка касательной, проведенной из внешней точке окружности, равен произведению отрезков секущей, проведенной из этой же точки до точек её пересечения с окружностью.
- Согласитесь,- говорю я,- факт удивительный и неожиданный. И придти к нему простым наблюдением трудно
- Ну почему же?- подал голос великий программист Владислав,- в Geogebra есть же опция, вычисляющая длину отрезков, пишем формулу, выводим на монитор - дело минутное.
- Это не доказательство!
-Отчего же? Вот мы, Сергей Иванович, отучимся, уйдём, и вы когда-нибудь уйдёте, а программа останется, и любой потом всегда убедится, что квадрат касательной равен произведению отрезков секущей.
- Ну, вот что, господа! Я всё-таки худо-бедно математик. И как математик я вам заявляю, что без доказательства математики нет ни как науки, ни как предмета.
- А мы и не собираемся наукой заниматься, нам экзамен надо сдать, а на нем никто никаких доказательств спрашивать не будет
- Я буду вас спрашивать, и экзамена не буду ждать, и если хотите иметь приличные отметки по геометрии, извольте все доказательства знать.
Убедить явно не убедил, но доказательства теоремы и следствий слушали более или менее добросовестно. Однако, индикатор понимания понизился в разы – не больше 5 человек (16%) активно и по делу работали, а воспроизвести рассуждения сразу без подготовки смогли только двое. То есть на доказательствах я потерял почти 90% детей.
- Неважно,- констатирую я.
- Не переживайте, Сергей Иванович,- Вадим,- в общих чертах понятно, что- то в этом есть, но хлопотно всё это, да и устали мы, смотрите сколько сделали.
- Так то так! Вы, кажется, действительно хорошо усвоили всю фактуру, но сути, к сожалению так и не уразумели. Меня это огорчает – в математике знать, значит доказать, а вы даже не желаете ничего делать в этом направлении.
- Нам этого не нужно, Сергей Иванович. Мы вам верим.
- Это не серьёзно, ребята,- и я принялся рассказывать о Евклиде, Платоне и т.п.
Дети утомленно послушали и спросили, когда жил Евклид.
- Примерно за тысячу лет до Рождества Христова.
- Вот видите! У него же не было ни компьютера, ни Geogebra.
- И Сергея Ивановича у него не было,- голливудская улыбка «обреченной быть звездой» Юли закрывает тему.
Звонок.
В «сухом» остатке имеем следующее: тему все поняли удовлетворительно. Это показали несколько самостоятельных работ и контрольная. Написали без двоек, троек мало, как впрочем, и пятёрок. А вот зачёт хуже – формулируют более менее прилично, даже самые неразговорчивые способны внятно что-то изобразить, но доказывают плохо и неохотно, в среднем на троечку.
Сопутствующий вывод: кажется, интеллектуальные ограничения, якобы накладываемые на детей возрастной физиологией всё-таки миф. Возьмём хотя бы этот урок. Какая творческая энергетика! Даже мой весьма далёкий от педагогики, но активно действующий в математике коллега, изучив запись урока, отметил: «Ты умиротворяешь детей, но они молоды, им в отличии от тебя ещё всё только предстоит. Им позарез нужно самоутверждаться, преодолевать себя. А у тебя сквозит - "Душа покоя просит".
Не со всем согласен, но со стороны виднее. Главное отмечено! Детвора вовсе не сидит «бревном», они размышляют, спорят, заявляют о себе, причем по делу.
Следовательно, учителю математики следует в первую очередь озаботиться не химерами, а сутевой частью дела. А именно, учить так, чтобы фундаментальные вещи были понятны сразу и всем. Любая задержка здесь чревата, что кто-то никогда не поймем, например, что «процент» главным образом прикидочный инструмент для оценки в больших массивах (эффективности римского легиона, скажем) и потому, изменение в 1% это всегда существенно.
Какими средствами пользоваться для этой цели не важно. Можно использовать Geogebra, можно, наверное, и любую другую интерактивную геометрическую систему (их уже несколько десятков в мировой практике). Главное, чтобы в сознании остался стойкий ассоциативный образ. Важно, в то же время, не увлечься и не выдумать новой химеры в виде замены учителя компьютером, Интернетом или электронным учебником. Убежден – это тупик.
С другой стороны, для меня остаётся открытым вопрос о форме доказательства в школе. Обратим внимание, что вопрос этот классический, т.е. совсем не простой.
В подтверждении несколько цитат.
Еще раз слово действующему математику:
«Искренне порадовался за тебя - хороших ты детей учишь, и предложения грамотно строишь, литературно. И "воды" немного и сказал всё, только, УВЫ, геометрия не тот предмет, на котором развернуться можно. Её преподают уже 2000 лет, лет 200 назад такой диалог в старших классах гимназии был возможен - книжка такая есть "Лобачевский" в ней Лобачевский зазнался и вместо доказательства 3 признака равенства треугольников построил два треугольника из соломок, у которых менялись длины (вытягивались) и сказал одно слово - "смотри", посчитал, что это достаточно. Но, на мой взгляд, математика должна вырабатывать абстрактное мышление, в этом смысле компьютер не помогает. А если уж говорить о геометрии, то надо (особенно в старших классах) показать, что она частный случай и роль абстракции в доказательстве. Для этого существует модель неэвклидовой геометрии Клейна – «ошкуренный», т.е. без внешней границы круг. Нетрудно видеть, что выполняются все аксиомы, кроме аксиомы параллельности прямых. И, напротив, через одну точку можно провести массу прямых параллельных данной. Модель Клейна показывает, что слова это просто символы, их реалиями в нашем мире могут оказаться совершенно непохожие предметы, имеющие общие свойства.»
Совершенно согласен, но, кажется, в школе сделать это невозможно. Улыбка чеширского кота, увы, для избранных, каковых в мире, говорят, не более 3-4%.
Послушаем более авторитетные примеры.
«Об И. Ньютоне рассказывают, что, будучи студентом, он начал изучение геометрии, как было принято в то время, с чтения "Геометрии" Евклида. Знакомясь с формулировками теорем, он видел, что они справедливы, и не изучал доказательства. Его удивляло, что люди затрачивают столько усилий, чтобы доказать совершенно очевидное».
Ну чем не программист Крылов или Тёма?
А вот и Даша!.
Философ XVII в. Т. Гоббс до сорока лет не имел представления о геометрии. Впервые в жизни прочитав формулировку теоремы Пифагора, он воскликнул: "Боже, но это невозможно!"
А вот и спортсмен Вадик!
Философ А.Шопенгауэр считал математику довольно интересной наукой, но не имеющей никаких приложений, в том числе и в физике. Он даже отвергал саму технику строгих математических доказательств. Шопенгауэр называл их мышеловками и приводил в качестве примера доказательство известной теоремы Пифагора. Оно является, конечно, точным: никто не может счесть его ложным. Но оно представляет собой совершенно искусственный способ рассуждения. Каждый шаг его убедителен, однако к концу доказательства возникает чувство, что вы попали в мышеловку. Математик вынуждает вас допустить справедливость теоремы, но вы не получаете никакого реального понимания. Это все равно, как если бы вас провели через лабиринт. Вы, наконец, выходите из лабиринта и говорите себе: "Да, я вышел, но не знаю, как здесь очутился".
Итак, классики не видели ничего страшного в отказе от доказательства, Может быть, есть смысл к ним отчасти прислушаться и сократить в школе количество доказательств? Оставить только реально обучающие, глубокие и неожиданные теоремы, способные оставить ощущение откровения.

Наглядное и абстрактное мышление

Наглядное и абстрактное мышление
-- вот как бы я охарактеризовал сформулированное автором "противоречие" наглядности и доказательности.
Собственно, в этом и состоит задача учителя (и математики в первую очередь!): воспитать абстрактное мышление. Образное почти не надо воспитывать, оно как-бы есть само.
Любое наглядное пособие, это апелляция к образному мышлению... Так что необходимо очень точное и взвешенное дозирование наглядности.
Мне не пришлось преподавать математику с такими инструментами, как геогебра. Мы доказательство равенства треугольников показывали "наложением"... Кроме удобства для учителя и большей наглядности геогебра ничего тут не выигрывает, а учить логике и доказательствам, развивать абстрактное мышление необходимо!
Что вы с ними в 10-11 классе на стереометрии делать будете?
Правильно подсказал вам знакомый математик, когда детям "очевидно" нужно подсунуть парадокс...
Поскольку я в последнее время больше занимаюсь информатикой, хочу отметить, что так нелюбимая всеми "консоль" (хоть в ДОС хоть в Линукс) - это тот самый оселок, на котором оттачивается абстрактное мышление: задумайтесь, какое надо воображение, чтобы за сухим выводом ls увидеть структуру дерева каталогов, которые все нынче привыкли видеть только в виде графических объектов!

Иван Сергеевич

Уважаемый Сергей Иванович! Мы с Вами, оказывается пересекаемся по отношению к GeoGebra. Я проживаю здесь http://janka-x.livejournal.com/

Иван Сергеевич (и тут пересечение).